Affin transzformáció Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2013. március 11.Pontosságellenőrzött

Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk és az eltolás is.

Descartes-koordinátarendszerben

Descartes-koordinátarendszert feltételező esetben az affin transzformációk általános alakját a következő képpen írhatjuk fel:

$\overset{ \text{Transzformalt koordinatak}} {\begin{bmatrix} \color{Blue} X^{'}, & \color{Blue} Y^{'}, & \color{Blue} Z^{'} \\ \end{bmatrix}} = \overset{\text{ Eredeti koordinatak}}{\begin{bmatrix} \color{Red}X, & \color{Red}Y, & \color{Red}Z \\ \end{bmatrix}} \cdot \overset{ 3\times 3 \text{ matrix}}{ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\ \end{bmatrix}} + \overset{ P \text{ Vektor}} {\begin{bmatrix} P_x , & P_y , & P_z \\ \end{bmatrix}}$

Ahol az 3x3 -as A mátrix valamilyen lineáris transzformáció mátrixa ami lehet skálázás, forgatás, fordítás, billentés, csavarás vagy ezek tetszőleges konkatenáltja. A P vektor pedig valamilyen eltolás vektoraként értelmezhető.

Homogén koordinátákkal

Homogén koordináták használata esetén egyetlen mátrixszorzással felírható:

$\overset{ \text{Transzformalt koordinatak}} {\begin{bmatrix} \color{Blue} X^{'}, & \color{Blue} Y^{'}, & \color{Blue} Z^{'}, & \color{Blue} 1 \\ \end{bmatrix}} = \overset{\text{ Eredeti koordinatak}}{\begin{bmatrix} \color{Red}X, & \color{Red}Y, & \color{Red}Z, & \color{Red}1 \\ \end{bmatrix}} \cdot \overset{ 4 \times 4 \text{ matrix}}{ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & 0\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & 0\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} & 0\\ P_x , & P_y , & P_z & 1\\ \end{bmatrix}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Affin geometria
• Affin kombináció
• Affin koordináták
• Tengelyes affinitás